Black–Scholes model(블랙 스콜 모델)

Black–Scholes model(블랙스콜 모델)

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Mathematical model(수학적 모델)

 

The Black–Scholes /ˌblæk ˈʃoʊlz/[1] or Black–Scholes–Merton model is a mathematical model for the dynamics of a financial market containing derivative investment instruments. From the partial differential equation in the model, known as the Black–Scholes equation, one can deduce(이끌어내다) the Black–Scholes formula, which gives a theoretical estimate of the price of European-style options and shows that the option has a unique price regardless of the risk of the security and its expected return (instead replacing the security's expected return with the risk-neutral rate). The formula led to a boom in options trading and provided mathematical legitimacy to the activities of the Chicago Board Options Exchange and other options markets around the world.[2] It is widely used, although often with some adjustments, by options market participants.[3]:751

블랙-숄즈 / ˌ블레크 ooollz/[1] 또는 블랙-숄즈-머튼 모델은 파생상품 투자상품을 포함하는 금융시장의 역동성을 수학적 모델이다. 블랙-숄즈 공식으로 알려진 모델의 부분 미분방정식에서 블랙-숄즈 공식을 추론할 수 있는데, 유럽식 옵션의 가격을 이론적 평가를 제공하며 , 보안의 위험과 예상 수익률(위험중립율로  안전 기대수익을 대신하지 않고)에 관계 없이 옵션이 고유한 가격을 가지고 있음을 보여준다. 이 공식(블랙슈즈공식)은 옵션 거래 붐으로 이어졌고 시카고 보드 옵션 거래소와 전 세계 다른 옵션 시장의 활동에 수학적 정당성을 제공했다.[2] 옵션시장 참여자들에 의해 종종 조정되지만 광범위하게 사용된다.[3]:751

 

Based on works previously developed by market researchers and practitioners, such as Louis Bachelier, Sheen Kassouf and Ed Thorp among others, Fischer Black and Myron Scholes demonstrated in 1968 that a dynamic revision of a portfolio removes the expected return of the security, thus inventing the risk neutral argument.[4][5] In 1970, after they attempted to apply the formula to the markets and incurred(초래하다) financial losses due to lack of risk management in their trades, they decided to focus in their domain area, the academic environment.[6] After three years of efforts, the formula—named in honor of 경의를 표하기 위하여 )them for making it public—was finally published in 1973 in an article entitled "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", in the Journal of Political Economy.[7][8][9] Robert C. Merton was the first to publish a paper expanding the mathematical understanding of the options pricing model, and coined the term "Black–Scholes options pricing model". Merton and Scholes received the 1997 Nobel Memorial Prize in Economic Sciences for their work, the committee citing their discovery of the risk neutral dynamic revision as a breakthrough (돌파구)that separates the option from the risk of the underlying security.[10] Although ineligible(부적당한) for the prize because of his death in 1995, Black was mentioned as a contributor by the Swedish Academy.[11]

루이스 바첼리어, 쉰 카수프, 에드 토프 등 시장 연구자와 실무자들이 이전에 개발한 작품을 바탕으로 위험 중립적인 주장을 고안해내면서 1968년 포트폴리오의 역동적인 개정이 보안의 기대 수익을 제거하였다는 것을 피셔 블랙과 마이런 스콜스가 나타냈다.[4][5] 1970년, 시장에 이 공식을 적용하려고 시도하고 거래에서 리스크 관리 부족으로 재정적 손실이 초래한 후, 그들은 영역 영역인 학문 환경에 집중하기로 결정하였다.[6] 3년간의 노력 끝에, 그것을 공표한 것에 대한 경의를 표하기 위해 명명된 이 공식은 마침내 1973년 정치 경제 저널에 "옵션과 기업 부채의 가격 결정"이라는 제목의 기사에서 발표되었다.[7][8][9] 로버트 C. 머튼은 옵션가격결정모형에 대한 수학적 이해를 확대하는 논문을 최초로 발표했으며, "블랙-숄즈 옵션가격결정모형"이라는 용어를 만들었다. 머튼과 스콜스는 1997년 노벨경제과학상 수상자로, 이 위원회는 옵션과 기초적 보안의 위험을 구분하는 돌파구로 위험 중립적 동적 수정안을 발견을  언급했다.[10] 1995년에 사망했기 때문에 이 상을 받을 자격이 없지만, 블랙은 스웨덴 학술원에서 공헌자로 언급되었다.[11]

The key idea behind the model is to hedge the option by buying and selling the underlying asset in just the right way and, as a consequence, to eliminate risk. This type of hedging is called "continuously revised delta hedging" and is the basis of more complicated hedging strategies such as those engaged in by investment banks and hedge funds.

이 모델의 핵심 아이디어는 기본 자산을 올바른 방식으로 사고 팔아서 옵션을 헤지하고 결과적으로 위험을 제거하는 것입니다. 이러한 유형의 헤징을 "지속적으로 수정 된 델타 헤징"이라고하며 투자 은행 및 헤지 펀드와 같은보다 복잡한 헤징 전략의 기초입니다.

The model's assumptions have been relaxed and generalized in many directions, leading to a plethora(과다, 다수) of models that are currently used in derivative pricing and risk management. It is the insights of the model, as exemplified(예증하다) in the Black–Scholes formula, that are frequently used by market participants, as distinguished from the actual prices. These insights include no-arbitrage bounds and risk-neutral pricing (thanks to continuous revision). Further, the Black–Scholes equation, a partial differential equation that governs the price of the option, enables pricing using numerical methods when an explicit formula is not possible.

모델의 가정은  현재 파생상품 가격 책정 및 리스크 관리에 사용되고 있는 다수의 모델들로 이끌면서

여러 방향으로 완화되고 일반화되었다 . 블랙-숄즈 공식에서 예시된 것처럼 실제 가격과 구별되는 것은 시장 참여자들이 자주 사용하는 모델의 통찰력이다. 이러한 통찰력에는 무임의 범위와 위험 중립적 가격 책정이 포함된다(지속적인 개정 덕택). 또한 옵션의 가격을 지배하는 부분적인 미분방정식인 블랙-숄즈 방정식은 명시적 공식이 불가능할 때 수치적 방법을 사용한 가격 책정을 가능하게 한다.

The Black–Scholes formula has only one parameter that cannot be directly observed in the market: the average future volatility of the underlying asset, though it can be found from the price of other options. Since the option value (whether put or call) is increasing in this parameter, it can be inverted to produce a "volatility surface" that is then used to calibrate(측정하다) other models, e.g. for OTC derivatives.

블랙-숄즈 공식은 다른 옵션의 가격에서 찾을 수 있지만, 시장에서 직접 관측할 수 없는 하나의 매개 변수, 즉 기초자산의 평균 미래 변동성만을 가지고 있다. 이 매개변수에서 옵션 값(푸트 또는 콜)이 증가하고 있으므로, OTC 파생상품과 같은 다른 모델을 보정하는 데 사용되는 "변동성 표면"을 생성하는 것으로 반전시킬 수 있다.

Contents

내용물

1 Fundamental hypotheses

 근본 가설

2 Notation 표기법

3 Black–Scholes equation

 블랙-숄즈 방정식

4 Black–Scholes formula

 블랙-숄즈 공식

4.1Alternative formulation

대체 제형

4.2 Interpretation

4.2 해석

4.2.1 Derivations

파생

5 The Greeks

그리스어

 Extensions of the model

확장모델

6.1 Instruments paying continuous yield dividends

•6.1 연속수익배당을 지급하는 금융상품

6.2 Instruments paying discrete proportional dividends

•6.2 별도의 비례배당을 지급하는 증권

6.3 American options

미국옵션

6.3.1 Perpetual put

영구풋6.4 Binary options

이진옵션

6.4.1 Cash-or-nothing call

현금과 무통장 콜

6.4.2 Cash-or-nothing put

현금과 무통장 풋6.4.3 Asset-or-nothing call

자산과 무자산 콜

6.4.4 Asset-or-nothing put

자산과 무자산 풋6.4.5 Foreign exchange

외국환거래

6.4.6 Skew

기울어짐(왜곡)

6.4.7 Relationship to vanilla options' Greeks

그리스어의 바닐라 옵션에 대한 관계7 Black–Scholes in practice

실제에서 블랙 숄즈

7.1 The volatility smile

변동성 미소

7.2 Valuing bond options

채권옵션의 평가

7.3 Interest-rate curve

이자율곡선

7.4 Short stock rat

단기주식율8 Criticism and comments

비평과 논평9 See also

참고항목

10 Notes

참고사항

11 References

참고자료

11.1 Primary references

1차 참고자료

11.2 Historical and sociological aspects

역사적 그리고 사회생태계적 국면

11.3 Further reading

추가적 판독

12 External links

오비링크

12.1 Discussion of the model

모델 논의

12.2 Derivation and solution

유도와 해결점

12.3 Computer implementations

컴푸터 실행

12.4 Historical

역사적

Fundamental hypotheses[edit]

근본 가설[편집]

The Black–Scholes model assumes that the market consists of at least one risky asset, usually called the stock, and one riskless asset, usually called the money market, cash, or bond.

블랙-숄즈 모델은 시장이 보통 주식이라고 불리는 적어도 하나의 위험 자산과 보통 금융 시장, 현금 또는 채권이라고 불리는 위험 없는 자산으로 구성되어 있다고 가정한다.

Now we make assumptions on the assets (which explain their names):

이제 자산(이름 설명을 설명하다)에 대해 가정을 해봅시다

.(riskless rate) The rate of return on the riskless asset is constant and thus called the risk-free interest rate.

• (무위험 비율) 무위험자산의 수익률은 일정하여 무위험이자율이라고 한다.

• (random walk) The instantaneous(순간적인) log return of stock price is an infinitesimal(극소의) random walk with drift; more precisely, the stock price follows a geometric Brownian motion, and we will assume its drift and volatility are constant (if they are time-varying, we can deduce(이끌어내다) a suitably modified Black–Scholes formula quite simply, as long as the volatility is not random).

• (랜덤보행) 주가의 순간 로그 수익은 표류가 있는 아주 작은 무작위 보행이다. 보다 정확히 말하면, 주가는 기하학적 브라운 운동을 따르고 있으며, 우리는 주가가 표류와 변동성이 일정하다고 가정할 것이다(시간변동성이라면, 변동성이 랜덤이  아닌 한, 적절히 변형된 블랙-숄즈 공식을 꽤 간단하게 추론할 수 있다.

The stock does not pay a dividend.[Notes 1]

주식이 배당금을 지급하지 않는다.[Notes 1]

The assumptions on the market are:

시장에 대한 가정은 다음과 같다.

•no arbitrage(재정거래: 차익거래) opportunity (i.e., there is no way to make a riskless profit).

•차익거래 기회 없음(즉, 무위험 수익을 창출할 방법이 없음)

ability to borrow and lend any amount, even fractional, of cash at the riskless rate.

위험 없는 이자율로 현금, 심지어 일부라도 빌려줄 수 있는 능력

ability to buy and sell any amount, even fractional, of the stock (this includes short selling).

주식의 모든 금액, 심지어 일부라도 사고팔 수 있는 능력(공매도 포함)

The above transactions do not incur any fees or costs (i.e., frictionless market).

위의 거래는 수수료나 비용(즉, 무마찰 시장)을 전혀 발생시키지 않는다.

 

With these assumptions holding, suppose there is a derivative security also trading in this market. We specify that this security will have a certain payoff (지불 청산,수익)at a specified date in the future, depending on the value(s) taken by the stock up to that date. It is a surprising fact that the derivative's (파생상품)price is completely determined at the current time, even though we do not know what path the stock price will take in the future. For the special case of a European call or put option, Black and Scholes showed that "it is possible to create a hedged position, consisting of a long position in the stock and a short position in the option, whose value will not depend on the price of the stock".[12] Their dynamic hedging strategy led to a partial differential equation which governed the price of the option. Its solution is given by the Black–Scholes formula.

이러한 가정이 유지되는 상황에서 이 시장에서 파생상품 증권도 거래된다고 가정해 보십시오. 당사는 이 유가증권은 해당일까지 주식에서 획득한 가치에 따라 향후 특정일에 특정 수익을 발생시킬 것임을 명시한다. 앞으로 주가가 어떤 경로를 밟을지는 알 수 없지만 파생상품 가격이 현 시점에서 완전히 결정된다는 것은 놀라운 사실이다. 유럽의 콜옵션이나 풋옵션의 특별한 경우에 대해 블랙과 스콜스는 "주식 가격에 따라 가치에 의존하지 않는  주식의 긴 포지션과 옵션의 짧은 포지션으로 구성된 위험회피대상 포지션을 만드는 것이 가능하다고"고 보여주었다.[12] 그들의 동적 위험회피전략은 옵션의 가격을 지배하는 부분적인 미분방정식으로 이끌었다. 그 해결책은 블랙-숄즈 공식에 의해 주어진다.

Several of these assumptions of the original model have been removed in subsequent extensions of the model. Modern versions account for dynamic interest rates (Merton, 1976),[citation needed] transaction costs and taxes (Ingersoll, 1976),[citation needed] and dividend payout.[13]

원래 모델에 대한 이러한 가정 중 몇 가지가 후속 모델 확장 시 제거되었다. 현대판에서는 동적 금리(Merton, 1976년:인용이 필요함 ), 거래 비용과 세금(Ingersoll, 1976년), 배당금 지급을 설명한다 .[13]