The Monty Hall problem (몬티홀 문제)

The Monty Hall problem is a brain teaser, in the form of a probability puzzle, loosely(막연하게 ) based on the American television game show Let's Make a Deal and named after its original host, Monty Hall. The problem was originally posed(제출하다) (and solved(해명하다) in a letter by Steve Selvin to the American Statistician in 1975. It became famous as a question from reader Craig F. Whitaker's letter quoted in Marilyn vos Savant's "Ask Marilyn" column in Parade magazine in 1990:

몬티 홀 문제는 확률 퍼즐의 형태로 막연하게 미국 텔레비전 게임 쇼 Let 's Make a Deal을 근거로 하고 원래 호스트인 Monty Hall의 이름을 딴 두뇌 자극을 하는 문젯거리입니다. 이 문제는 원래 1975년 스티브 셀빈이 미국 통계학자에게 보낸 편지에서 제기되었다. 1990년 퍼레이드 잡지의 마릴린 보 사반트의 "Ask Marilyn" 칼럼에 인용된 독자 크레이그 F. 휘태커의 편지는 다음과 같이 유명해졌다.

 

In search of a new car, the player picks a door, say 1. The game host then opens one of the other doors, say 3, to reveal a goat and offers to let the player switch from door 1 to door 2.

새 차를 찾기 위해 플레이어는 1번 문을 선택합니다. 그런 다음 게임 호스트는 다른 문 중 3번을 열어 염소를 드러내고 플레이어가 1번 문에서 2번 문으로 전환할 수 있도록 제안합니다.

Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?

게임 쇼에 나와 세 개의 문을 선택할 수 있다고 가정해 보겠습니다. 한 문 뒤에는 자동차가 있습니다. 다른 사람들 뒤에 염소. 당신이 1번 문을 선택하면, 그 문 뒤에 무엇이 있는지 알고 있는 주인이 염소가 있는 다른 3번 문을 엽니다. 그런 다음 그는 "2번 문을 선택하시겠습니까?"라고 말합니다. 선택을 바꾸는 것이 당신에게 유리합니까?

Vos Savant's response was that the contestant should switch to the other door. Under the standard assumptions, contestants who switch have a 2/3 chance of winning the car, while contestants who stick to their initial choice have only a 1/3 chance.

Vos Savant의 대답은 참가자가 다른 문으로 전환해야 한다는 것이었습니다. 표준 가정 하에서, 전환한 참가자는 차를 얻을 확률이 2/3인 반면 초기 선택을 고수하는 참가자는 1/3의 기회만 있습니다.

When the player first makes their choice, there is a 2/3 chance that the car is behind one of the doors not chosen. (여기서 확률은 1/2로)This probability does not change after the host opens one of the unchosen doors. When the host provides information about the 2 unchosen doors (revealing that one of them does not have the car behind it), the 2/3 chance that the car is behind one of the unchosen doors rests on the unchosen and unrevealed door, as opposed to the 1/3 chance that the car is behind the door the contestant chose initially.

플레이어가 처음 선택을 할 때 차가 선택되지 않은 문 중 하나 뒤에 있을 확률은 2/3입니다. 이 확률은 호스트가 선택되지 않은 문 중 하나를 연 후에도 변경되지 않습니다. 호스트가 2개의 선택되지 않은 문에 대한 정보를 제공할 때(그 중 하나는 뒤에 차가 없다는 것을 밝힘), 차가 선택되지 않은 문 중 하나 뒤에 있을 확률은 2/3이고 선택되지 않은 문과 표시되지 않은 문에 있습니다. 차가 처음에 참가자가 선택한 문 뒤에 있을 확률이 1/3입니다.

 

(아직 문을 열지 않은 채 제의를 하는 것입니다 자! 선택된 문을 열지 않은 채 호스트가 차가 없는 도어를 보여주면서 선택을 바꾸겠는가 묻는 질문입니다(여기서 다시 선택을 할 경우에는 확률문제로는 처음 것과는 다른 경우인 1/2로 봐야 할 것) 여기서 확률은 참가자가 처음 차가 있을 확률은 1/3인데 하나의 없다는 정보를 가진 후에 선택을 한다면 먼저 선택된 문을 다시 재자리에 갔다 놓고 선택을 하니 경우 수는 3이라고 억지 주장문제 이고 하나는 가능성이 없음이 밝혀졌으니 가능성의 확률은 2/3(??? 즉 유명인이 컴퓨터 실물레이선을 해다는데....)가 되는데 먼젓 것과 비교하면 2/3이라는 의미입니다 만) 

The given probabilities depend on specific assumptions about how the host and contestant choose their doors. A key insight is that, under these standard conditions, there is more information about doors 2 and 3 than was available at the beginning of the game when door 1 was chosen by the player: the host's deliberate action adds value to the door he did not choose to eliminate, but not to the one chosen by the contestant originally. Another insight is that switching doors is a different action from choosing between the two remaining doors at random, as the first action uses the previous information and the latter does not. Other possible behaviors of the host than the one described can reveal different additional information, or none at all, and yield different probabilities.

주어진 확률은 호스트와 참가자가 문을 선택하는 방법에 대한 구체적인 가정에 달려 있습니다. 핵심 통찰력은 이러한 표준 조건 하에서 도어 1이 플레이어에 의해 선택되었을 때 게임 시작 시 사용 가능한 것보다 도어 2와 3에 대한 정보가 더 많다는 것이다: 호스트의 의도적인 행동은 그가 제거하기로 선택하지 않은 문에 가치를 더하지만, 원래 참가자가 선택한 문에는 가치를 더하지 않는다. 또 다른 통찰력은 첫 번째 동작이 이전 정보를 사용하고 후자는 사용하지 않기 때문에 문을 바꾸는 것은 무작위로 나머지 두 문 사이에서 선택하는 것과는 다른 행동이라는 것입니다.설명된 것보다 호스트의 다른 가능한 행동은 다른 추가 정보를 나타낼 수 있으며 전혀 다른 확률을 산출할 수 있습니다.

Many readers of vos Savant's column refused to believe switching is beneficial and rejected her explanation. After the problem appeared in Parade, approximately 10,000 readers, including nearly 1,000 with PhDs, wrote to the magazine, most of them calling vos Savant wrong. Even when given explanations, simulations, and formal mathematical proofs, many people still did not accept that switching is the best strategy. Paul Erdős, one of the most prolific mathematicians in history, remained unconvinced until he was shown a computer simulation demonstrating vos Savant's predicted result.

vos Savant 칼럼의 많은 독자들은 전환이 유익하다고 믿기를 거부하고 그녀의 설명을 거부했습니다. 퍼레이드에서 문제가 발생한 후 박사 학위를 소지한 거의 1,000명을 포함하여 약 10,000명의 독자가 이 잡지에 글을 썼고, 그들 대부분은 vos Savant를 틀렸다고 말했습니다. 설명, 시뮬레이션 및 공식 수학적 증명이 주어졌을 때에도 많은 사람들은 여전히 전환이 최상의 전략이라는 것을 받아들이지 않았습니다. 역사상 가장 많은 업적을 남긴 수학자 중 한 명인 Paul Erdős는 vos Savant의 예측 결과를 보여주는 컴퓨터 시뮬레이션을 보기 전까지 확신이 없었습니다.

The problem is a paradox of the veridical(진정한) type, because the correct choice (that one should switch doors) is so counterintuitive(반직관적인) it can seem absurd, but is nevertheless demonstrably true. The Monty Hall problem is mathematically closely related to the earlier Three Prisoners problem and to the much older Bertrand's box paradox. (From Wikipedia)

문제는 실제 유형의 역설입니다. 왜냐하면 올바른 선택(문을 바꿔야 한다는 것)이 너무 반직관적이어서 터무니없게 보일 수 있지만 그럼에도 불구하고 분명히 사실이기 때문입니다. 몬티 홀 문제는 수학적으로 이전의 Three Prisoners 문제와 훨씬 더 오래된 Bertrand의 상자 역설과 밀접하게 관련되어 있습니다. (위키피디아에서)

 

확률이 1/2던 2/3이던 하나의 정보가 주어지고 나머지는 어쨋던 좋아젔으니 전환해야 한다는 의미는 맞을 것입니다 

Whether the probability is 1/2 or 2/3, you are given one piece of information and the rest is good anyway, so it would mean you have to switch.